代数推演步骤 两大核心解法
当前操作指令
原方程
无论是何种一阶微分方程，最终的目的都是通过代数技巧将其转化为可以两边直接积分的形式，从而消去导数项，求得 $y(x)$。
公式推导板 演算过程全透明
向右拖动滑块，观察方程在每一步是如何被化简并求解的。
积分曲线族 初值条件的“锚定”效应
对应的初值条件 (以 x=1 为例)：
y(1) = 1.0
微分方程的“通解”包含了一个未知常数 C，它代表了平面上无数条平行的曲线族。当我们指定了一个初始条件（比如规定曲线必须经过某个红色的点），常数 C 就被唯一确定了。
几何映射 特定解在曲线族中的位置
红点表示初值点，蓝色实线为满足初值的特解，灰色虚线为该家族的其他平行曲线。
一阶方程解题法则
化繁为简，将微积分转换为纯粹的代数套路
可分离变量型判别
第一直觉$$ \frac{dy}{dx} = f(x)g(y) $$
如果你能通过简单的乘除法，将所有的 x 项放在等号一边，所有的 y 项放在另一边，这就属于可分离变量型。
分离变量求解
各自积分$$ \int \frac{1}{g(y)} dy = \int f(x) dx + C $$
完成分离后，在等式左右两边同时套上积分号。计算出两个不定积分并补上常数 C，即可得到隐式通解。
一阶线性型判别
标准形式$$ y' + P(x)y = Q(x) $$
如果 y 的最高次幂为一次，且不与 y' 相乘。你需要先将其化为这种标准形式，即确保 y' 的系数为 1。
构造积分因子
魔术乘数$$ \mu(x) = e^{\int P(x)dx} $$
找出一个神奇的因子 $\mu(x)$。注意在计算积分 $\int P(x)dx$ 时，不需要加常数 C。
应用积分因子
导数折叠$$ (\mu(x)y)' = \mu(x)Q(x) $$
将原方程两边同乘 $\mu(x)$，左边必定会自动折叠为 $(\mu(x)y)'$ 的形式。这一步是逆向应用乘积求导法则。
一阶线性型求解
直接积分$$ \mu(x)y = \int \mu(x)Q(x)dx + C $$
两边同时对 x 积分，左侧消除导数符号，右侧求解积分后除以 $\mu(x)$，即可获得最终解。
齐次方程 (可化为分离变量型)
代换策略$$ \frac{dy}{dx} = f\left(\frac{y}{x}\right) $$
如果方程中所有项总能被凑成 $\frac{y}{x}$ 的形式。那么可以令 $u = \frac{y}{x}$，利用 $y = ux$ 转化为关于 u 和
x 的可分离变量方程。
代入初值条件
确定特解$$ y(x_0) = y_0 \implies \text{求出唯一的 } C $$
将给定的坐标 $(x_0, y_0)$ 代入刚刚求得的含有 C 的通解中，解出一个具体的数值 C，最后重写方程即为特解。